Polinomlar

biçimindedir. burdaki n sayısını  polinomun derecesini belirtir ve n bir doğal   sayıdır.

 , ,,.,,,,,,,,,,,,, ,   bunlara polinomun terimleri denir.

Örnek verecek olursak:  

1. P(x)=x+1
2. P(x)=x²-1
3. Q(x)=x³+5x²-1
4. R(x)=1
5. P(X)=0

• Bunların hepsi birer bir polinomdur.Dikkat edilmesi gereken husus polinomların terimlerinde x lerin üssü olan n sayısının doğal sayı olması gerektiği unutulmamalıdır.
• Örnek:  P(x)=x^-5+3

bu örnekte x in kuvveti negatif bir sayıdır. Dolayısıyla  bir doğal sayı olmadığından polinom olma şartını sağlamaz.

•       Örnek:   

 burdada x li terimin kuvveti  yani bir rasyonel sayıdır ayrıca -2 doğal sayı değildir. Doğal sayı olması gerektiğini söylemiştik ve dolayısıyla bir polinom değildir.

• Polinomlarda derecesi en büyük terimin derecesine polinomun derecesi denir. ve 

  ile gösterilir.

Derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun başkatsayısı diyeceğiz.

Konunun başında yazdığımız genel ifadede;

     burdaki      reel  sayısına polinomun sabit terimi adı verilir.

Şimdi bir polinomu inceleyelim;

• Örnek:     polinomunun katsayıları   3,7,-5,6  rakamlarıdır.

   polinomunun başkatsayısı 3  derecesi 5  ve sabit terimi 6 dır.

İki değişkenli polinom:

Örnek:        

Bu polinomun derecesi x ‘ e göre 6   y ‘ye göre 5 ve x ve y ‘ ye göre ise  5+6=11 olur. Yani

 olur.

Katsayılar Toplamı: Polinomda değişkenlerin yerine 1 yazdığımızda bu polinomun katsayılar

toplamını elde etmiş oluruz.

• Örnek:    polinomunun katsayılar toplamını bulalım.
  

Katsayılar toplamı bulunurken değişkenimiz olan  x yerine  1 yazacağız.

  =   elde edilir.    polinomunun katsayılar toplamı  tür.

Sabit Terim Bulma: Polinomda değişkenlerin yerine 0 yazdığımızda polinomumuzun sabit

terimini elde ederiz.

• Örnek:     polinomunun sabit terimi kaçtır ?

sabit terim bulunurken değişkenimiz olan x yerine 0 yazarız.

         buradan sabit terim 5 olduğu görülür.

•  Örnek: polinomunun sabit terimi kaçtır ?

x=0 için      burdanda     bulunur.

Polinomların Eşitliği: Dereceleri aynı olan terimlerin katsayılarıda aynı  ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.

P(x)= a₀+a₁x¹+a₂x²+…+a_nxⁿ

Q(x)=b₀+b₁x¹+b₂x²+…b_nxⁿ 

polinomları birbirine eşit ( P(x)=Q(x) ) ise dereceleri eşit olan x bilinmeyenlerinin katsayıları birbirine eşittir. o halde; 

             a₀=b₀ , a₁=b₁ , … , a_n=b_n   dir.

• Örnek: (a+1)x³-(b+4)x²-2p+6 = 2x³+8  olduğuna göre a+b+p toplamı kaçtır? 
  
  polinomlar birbirine eşit olduğundan;
  a+1=2 den a=1 dir.
  
  Eşitliğin sağ tarafında x² li terim olmadığından
  b+4=0 dan b=-4 dür.
  
  -2p+6=8 den p=-1 dir.
  
  a+b+p=1+(-4)+(-1)=-4 dür.

Polinomlarda Dört İşlem:

 P(x)=2x-4 ve Q(x)=x²-x-2 polinomları verilsin. Buna göre aşağıdaki işlemleri yapalım.

A) P(x).Q(x)=?   B) P(x)-2.Q(x)=?    C) 3P(x)+4Q(x)=?    D) 

A) 

B) 

C) 

D)   

 {youtube}DSJwrUlS0Lo{/youtbe}

Polinomlarda Derece Kavramı:

Tanımlı bir P(x) polinomunun x bilinmeyenlerinin en büyük kuvvetine bu P(x) polinomunun derecesi denir. Bu polinomun derecesi d[P(x)] veya der[P(x)] ile gösterilir.

Örnek:

 polinomunun derecesi der[P(x)]=3 tür.

 polinomunun derecesi der[Q(x)]=7 dir.

Polinomların Derecelerinin Özellikleri:

Tanımlı P(x) ve Q(x) polinomlarının dereceleri der[P(x)]= m ve der[Q(x)]= n  olsun.

1. Polinomlar çarpılırken dereceleri toplanır.
   
   der[P(x).Q(x)]= m+n
    
2. Polinomlar bölünürken paydaki polinomun derecesinden paydadaki polinomun derecesi çıkartılır.
   
    dir
   
   
   
3. Polinomlar toplanırken veya çıkartılırken ise iki durum söz konusudur.
   
   ! Polinomların dereceleri farklı ise derecesi büyük olan polinomun derecesi alınır. (Burada m>n alalım.)
   
   
   !! Polinomların dereceleri aynı ise polinomların çıkartma ve toplama işlemi yapıldıktan sonra oluşan yeni polinomun derecesi yazılır.
   
   
   
4. Polinomların reel katlarını alırken polinomun derecesi değişmez.
   
    
   
   
   
5. Polinomların reel sayı kuvvetleri alınırken veya değişkeninin reel sayı kuvveti alınırken, o polinomun derecesi aynı reel sayı ile çarpılır.
   
    dir.
   
   
6. Polinomların bileşkesi alınırken dereceleri çarpılır.

             dir.

Örnek: 

  polinomları verilsin. Buna göre aşağıda istenilenleri yapalım.

Polinomlarda Bölme İşlemi

 Polinomlarda bölme işlemi konusunu incelemeden önce Bölme-Bölünebilme konusu ile ilgili olduğunu düşünelim.

   Bu yazdığımız P(x)  polinomunu elde etmek için Q(x) ve R(x)  in çarpılıp K(x) ile toplanmasıdır. Buna göre;

•    ise   tam bölünmüştür. Kalan 0 dır.
•   yani kalanın derecesi bölenin derecesinden küçüktür.
• Bölme işleminin yapılabilmesi için   polinomunun derecesinin  polinomunun derecesinden büyük veya eşit olması gerekmektedir.

Örnek:   P(x) polinomunun x²+4x-2 ile bölümünden bölüm 3x-2 ve kalan x+1 ise P(3)=?

  olduğunu biliyoruz. Buradan faydalanarak;

P(x)=(x²+4x-2).(3x-2)+(x+1)  dir. P(3) bizden istenen olduğundan; x yerine 3 yazarız.

x=3 için P(3)=(3²+4.3-2).(3.3-2)+(3+1)

            P(3)= (9+12-2).(9-2)+4=19.7-2=133-2=131   dir.

Örnek:     3x³+2x²-4x+1 polinomunu x+2 polinomuna bölelim.